Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=0\), chứng minh rằng \(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=0\)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn: \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)
Chứng minh rằng x + y = 0
Bạn ơi hình như đề sai ạ
Bạn thử một cặp x,y vào sẽ thấy ạ
Theo mk nghĩ đề đúng thì chắc cách giải như zầy
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{y+\sqrt{1+y^2}}\\y+\sqrt{1+y^2}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}+y=0\\y+\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+x^2}+x=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow2x+2y=0\Leftrightarrow x+y=0\)
bạn có thể lí giải rõ hơn đoạn tương đương đầu tiên ấy
x,y là các số thực thỏa mãn đẳng thức : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\).Chứng minh x+y=0
\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
Nhân hai vế của đẳng thức với: \(\sqrt{x^2+1-x}\)
Ta được: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\sqrt{x^2+1}-x\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\)
\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}\left(1\right)\)
Mặt khác ta có: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
Nhân hai vế của đẳng thức với: \(\sqrt{y^2+1}-y\)
Ta được: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)=\sqrt{y^2+1}-y\)
\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y\)
\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}\left(2\right)\)
Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow x+y=0\left(đpcm\right)\)
Cho 2 số thực a, b thỏa mãn xy + \(\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=1\)
CMR: \(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=0\)
Cho các số thực x,y thỏa mãn \(\left(x+1+\sqrt{x^2+2x+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+2}\right)\)=0 ,chứng minh rằng x+y=0
\(\left(x+1+\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}\right)\left(y-1+\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}\right)=0\) (1)
Nhân 2 vế với \(\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}-\left(x+1\right)\) và rút gọn
\(\Rightarrow y-1+\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}-\left(x+1\right)\) (2)
Nhân 2 vế của (1) với \(\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}-\left(y-1\right)\) và rút gọn
\(\Rightarrow x+1+\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}=\sqrt{\left(y-1\right)^2+1}-\left(y-1\right)\) (3)
Cộng vế với vế (2) và (3) và rút gọn:
\(\Rightarrow y+x=-x-y\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\Rightarrow x+y=0\)
Cho x; y; z là các số dương nhỏ hơn 1 thỏa mãn x + y + z + 2\(\sqrt{xyz}\)= 1. Chứng minh rằng \(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}+\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}+\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=1+\sqrt{xyz}\)
\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)
\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)
\(=x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)
\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)
Cho các số x,y thỏa mãn điều kiện \(\left(x+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y+\sqrt{1+x^2}\right)=1\). Chứng minh rằng:\(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)
áp dụng cauchy ngược dấu là xong nhé bạn :>> mình ko đánh đc sorry bạn
Cho các số thực x, y thỏa mãn -4 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 16. Chứng minh rằng: \(x\sqrt{16-y}+\sqrt{y\left(16-x^2\right)}\) ≤ 16
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
Đặt \(A=x\sqrt{16-y}+\sqrt{y\left(16-x^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow A^2=\left[x\sqrt{16-y}+\sqrt{y\left(16-x^2\right)}\right]^2\le\left(x^2+16-x^2\right)\left(16-y+y\right)\\ \Leftrightarrow A^2\le16\cdot16=256\\ \Leftrightarrow A\le16\\ A_{max}=16\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{16-x^2}=\dfrac{16-y}{y}\Leftrightarrow x^2y=256-16y-16x^2+x^2y\\ \Leftrightarrow16x^2+16y-256=0\\ \Leftrightarrow x^2+y-16=0\\ \Leftrightarrow x^2=16-y\Leftrightarrow x=\sqrt{16-y}\)
Cho x, y \(\in R\) thỏa mãn:
\(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\)
Chứng minh rằng: \(x^3+y^3+3xy=1\)
Gt\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\)
\(\Leftrightarrow-2\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\)
\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x^2+2}+y-1+\sqrt{y^2-2y+3}=0\) (*)
\(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)\left(y-1-\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(y-1-\sqrt{y^2-2y+3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right).-2=2\left(y-1-\sqrt{y^2+2y+3}\right)\)
\(\Leftrightarrow y-1-\sqrt{y^2+2y+3}+x+\sqrt{x^2+2}=0\) (2*)
Cộng vế với vế của (*) và (2*) => \(2x+2y-2=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy=1\)
Ta có:`(x+sqrt{x^2+2})(sqrt{x^2+2}-x)=2`
`<=>sqrt{x^2+2}-x=y-1+sqrt{y^2-2y+3}`
`<=>sqrt{x^2+2}-sqrt{y^2-2y+3}=x+y-1(1)`
CMTT:`sqrt{y^2-2y+3}-(y-1)=x+sqrt{x^2+2}`
`<=>sqrt{y^2-2y+3}-y+1=x+sqrt{x^2+2}`
`<=>sqrt{y^2-2y+3}-sqrt{x^2+2}=x+y-1(2)`
Cộng từng vế (1)(2) ta có:
`2(x+y-1)=0`
`<=>x+y-1=0`
`<=>x+y=1`
`<=>(x+y)^3=1`
`<=>x^3+y^3+3xy(x+y)=1`
`<=>x^3+y^3+3xy=1`(do `x+y=1`)
Câu 1.Cho các số thực x,y không âm thỏa mãn (x+1)(y+1)=2 .Chứng minh biểu thức sau là
số nguyên P=\(\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{2\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2+xy}\)
Đề bài sai, phản ví dụ:
Với \(x=1;y=0\) thì x;y thỏa mãn \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=2\)
Nhưng \(P=1-\sqrt{6}\) không phải số nguyên